量子力学中第三章后的课后题，是周世勋的，第一题求平均值是怎么回事、 量子力学 解答

量子力学中第三章后的课后题，是周世勋的，第一题求平均值是怎么回事、

不是给你波函数了么，然后要求位置的平方的平均值
那就波函数共轭乘以位置平方乘以波函数 的积分
第二个也一样，乘以动量算符的平方
第三个用动量的本征函数展开波函数就行

这题不难，不过计算上有点麻烦罢了

量子力学 解答

（h代表约化Planck const.)
先看一维无穷势井，假定粒子限定在x=a,x=b处（b>a）；
那么归一化波函数：ψn=√[2/(b-a)]*sin[nπx/(b-a)]；
能级：En=n^2*π^2*h^2/[2m(b-a)^2]

然后看你这个问题：先写出Hamiltonion:
H=[-h^2/2m*▽^2 V(r)],
在：r∈(a,b)的区域,势能为0，
并注意算符▽^2，在球坐标下：
▽^2=1/r^2*[∂/∂r*(r^2*∂/∂r)] 1/(r^2*sinθ)*[∂/∂θ*(sinθ*∂/∂θ)] 1/(r*sinθ)^2*(∂^2/∂φ^2)
=1/r^2*[∂/∂r*(r^2*∂/∂r)-L^2/h^2]
那么r∈(a,b)区域的定态Schrodinger Eq就要写成：
-h^2/(2mr^2)*[∂/∂r*(r^2*∂/∂r)-L^2/h^2]ψ=Eψ......（1）
显然这样看的话，L^2,Lz都与H对易，所以可以选一组力学量的完全集（H,L^2,Lz）的共同本征函数作为完备正交归一的本征函数族，这样的话，算符L^2作用上去就有：L^2ψ=l(l 1)h^2ψ，所以第一个式子改写一下就是：
-h^2/(2mr^2)*[∂/∂r*(r^2*∂/∂r)-l(l 1)/h^2]ψ=Eψ......(2)
由于要求基态，所以轨道角动量要为0，即l=0，所以（2）就要写成：
-h^2/(2mr^2)*[∂/∂r*(r^2*∂/∂r]ψ=Eψ......(3)
解（3）式并不费劲，先分离变量令ψ=R（r）*Y(θ,φ)；则（3）式改写为：
-h^2/(2mr^2)*[∂/∂r*(r^2*∂/∂r]R=E*R......(4)
解（4）只需再做一步换元，令u=rR,代入（4）就得：
u 2mE/h^2*u=0
上式与一维无穷势井中的Schrodinger Eq一样，所以直接把最开始给你的波函数和能级拿来用就ok了~~~即波函数为：
（基态n=1,l=0,m=0）u=√[2/(b-a)]*sin[πr/(b-a)]*Y_00
注意u=rR,而且Y_00是常数，所以波函数应为：
ψ=√[2/(b-a)]/r*sin[πr/(b-a)]
基态能量为：E=π^2*h^2/[2m(b-a)^2]