向量与向量数量积：定义、计算与应用详解
向量与向量数量积：定义、计算与应用详解
什么是向量？
向量是一个具有大小（长度）和方向的量。在几何上，它可以用一条有方向的线段表示，线段的长度表示向量的大小，箭头指向表示向量的方向。在数学和物理学中，向量用于描述位移、速度、力等物理量。
什么是向量数量积？
向量数量积（也称点积或内积）是两个向量运算后得到一个标量（一个只有大小没有方向的量）的运算。它反映了两个向量在方向上的相似程度。如果两个向量垂直，它们的数量积为零。
向量数量积的计算公式是什么？
向量数量积的计算有两种常用方法：
-
几何定义法： 两个向量的数量积等于它们大小的乘积乘以它们夹角的余弦值。
公式： $ mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| |mathbf{b}| cos( heta) $
其中 $ mathbf{a} $ 和 $ mathbf{b} $ 是两个向量，$ |mathbf{a}| $ 和 $ |mathbf{b}| $ 分别是它们的模（大小），$ heta $ 是它们之间的夹角。 -
坐标表示法： 如果向量 $ mathbf{a} = (a_1, a_2, dots, a_n) $ 和 $ mathbf{b} = (b_1, b_2, dots, b_n) $，它们的数量积等于它们对应分量乘积之和。
对于二维向量 $ mathbf{a} = (a_1, a_2) $ 和 $ mathbf{b} = (b_1, b_2) $，数量积为： $ mathbf{a} cdot mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 $
对于三维向量 $ mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) $ 和 $ mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3) $，数量积为： $ mathbf{a} cdot mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 $
推广到 n 维向量： $ mathbf{a} cdot mathbf{b} = sum_{i=1}^{n} a_i b_i $
向量数量积的性质
向量数量积具有以下重要性质：
- 交换律： 向量数量积满足交换律，即 $ mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a} $。
- 分配律： 向量数量积对向量加法满足分配律，即 $ mathbf{a} cdot (mathbf{b} + mathbf{c}) = mathbf{a} cdot mathbf{b} + mathbf{a} cdot mathbf{c} $。
- 数乘结合律： 数量积可以与数乘结合，即 $ (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) $，$ mathbf{a} cdot (kmathbf{b}) = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) $，其中 $ k $ 是一个标量。
- 与零向量的关系： 向量 $ mathbf{a} $ 与零向量 $ mathbf{0} $ 的数量积为零，即 $ mathbf{a} cdot mathbf{0} = 0 $。
- 与自身数量积： 向量 $ mathbf{a} $ 与自身数量积等于其模的平方，即 $ mathbf{a} cdot mathbf{a} = |mathbf{a}|^2 $。
- 垂直条件： 两个非零向量 $ mathbf{a} $ 和 $ mathbf{b} $ 垂直的充要条件是它们的数量积为零，即 $ mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0 $。
向量数量积的应用
向量数量积在数学、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。以下是一些主要的应用场景：
1. 计算两向量夹角
利用向量数量积的几何定义，我们可以方便地计算任意两个向量之间的夹角。将数量积公式变形，可得：
$ cos( heta) = frac{mathbf{a} cdot mathbf{b}}{|mathbf{a}| |mathbf{b}|} $
通过计算 $ cos( heta) $ 的值，即可得到夹角 $ heta $。
2. 判断向量是否垂直
如前所述，如果两个非零向量的数量积为零，则它们互相垂直。这是判断向量正交性的重要工具。
3. 计算向量在另一个向量上的投影
向量 $ mathbf{a} $ 在向量 $ mathbf{b} $ 上的投影向量为：
$ ext{proj}_{mathbf{b}} mathbf{a} = frac{mathbf{a} cdot mathbf{b}}{|mathbf{b}|^2} mathbf{b} $
而向量 $ mathbf{a} $ 在向量 $ mathbf{b} $ 上的投影的长度（或称为分量）为：
$ | ext{proj}_{mathbf{b}} mathbf{a}| = frac{|mathbf{a} cdot mathbf{b}|}{|mathbf{b}|} $
4. 物理学中的功的计算
在物理学中，当一个力 $ mathbf{F} $ 作用在物体上，使其发生位移 $ mathbf{d} $ 时，力所做的功 $ W $ 可以用数量积表示：
$ W = mathbf{F} cdot mathbf{d} $
这表明，只有力在位移方向上的分量才对功有贡献。
5. 计算两个向量之间的相似度
在机器学习和数据科学领域，向量数量积常被用来衡量两个向量的相似度，特别是在余弦相似度计算中。
余弦相似度公式： $ ext{similarity} = frac{mathbf{a} cdot mathbf{b}}{|mathbf{a}| |mathbf{b}|} $
余弦相似度的值介于 -1 和 1 之间。值为 1 表示两个向量方向完全相同，值为 -1 表示方向完全相反，值为 0 表示两个向量正交（方向无关）。
向量数量积与向量模的关系
向量数量积与向量的模（大小）密切相关。我们知道 $ mathbf{a} cdot mathbf{a} = |mathbf{a}|^2 $。通过向量数量积，我们也可以计算向量的模。
如果给定向量 $ mathbf{v} = (v_1, v_2, dots, v_n) $，那么它的模为：
$ |mathbf{v}| = sqrt{mathbf{v} cdot mathbf{v}} = sqrt{v_1^2 + v_2^2 + dots + v_n^2} $
求解向量数量积的步骤示例
让我们通过一个例子来理解如何求解向量数量积。
示例 1：几何定义法
已知向量 $ mathbf{a} $ 的大小为 5，向量 $ mathbf{b} $ 的大小为 8，它们之间的夹角为 $ 60^circ $。求 $ mathbf{a} cdot mathbf{b} $。
根据数量积的几何定义公式：
$ mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| |mathbf{b}| cos( heta) $
$ mathbf{a} cdot mathbf{b} = 5 imes 8 imes cos(60^circ) $
$ mathbf{a} cdot mathbf{b} = 40 imes frac{1}{2} $
$ mathbf{a} cdot mathbf{b} = 20 $
示例 2：坐标表示法 (二维向量)
已知向量 $ mathbf{a} = (2, 3) $ 和向量 $ mathbf{b} = (4, -1) $。求 $ mathbf{a} cdot mathbf{b} $。
根据数量积的坐标表示法公式：
$ mathbf{a} cdot mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 $
$ mathbf{a} cdot mathbf{b} = (2)(4) + (3)(-1) $
$ mathbf{a} cdot mathbf{b} = 8 - 3 $
$ mathbf{a} cdot mathbf{b} = 5 $
示例 3：坐标表示法 (三维向量)
已知向量 $ mathbf{u} = (1, -2, 3) $ 和向量 $ mathbf{v} = (-3, 4, 5) $。求 $ mathbf{u} cdot mathbf{v} $。
根据数量积的坐标表示法公式：
$ mathbf{u} cdot mathbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 $
$ mathbf{u} cdot mathbf{v} = (1)(-3) + (-2)(4) + (3)(5) $
$ mathbf{u} cdot mathbf{v} = -3 - 8 + 15 $
$ mathbf{u} cdot mathbf{v} = 4 $
向量数量积与向量内积的区别
在大多数上下文中，向量数量积（dot product）、向量点积（dot product）和向量内积（inner product）是同义词，指的是同一种运算。然而，在更抽象的数学领域（例如泛函分析），“内积”是一个更广义的概念，它可以定义在更复杂的向量空间上，并且可能不具有“点积”的某些特定形式。但对于我们这里讨论的欧几里得向量空间，这三个术语通常可以互换使用。
向量数量积的几何意义
向量数量积的几何意义主要体现在以下几个方面：
- 测量方向的相似性： 正的数量积表示两个向量有相似的方向（夹角小于 90 度），负的数量积表示方向相反（夹角大于 90 度），零的数量积表示方向无关（互相垂直）。
- 与投影的关系： 数量积 $ mathbf{a} cdot mathbf{b} $ 等于向量 $ mathbf{a} $ 在向量 $ mathbf{b} $ 方向上的投影的长度乘以 $ mathbf{b} $ 的大小。或者说，它等于向量 $ mathbf{b} $ 在向量 $ mathbf{a} $ 方向上的投影的长度乘以 $ mathbf{a} $ 的大小。
向量数量积的计算注意事项
- 维度一致性： 在使用坐标表示法计算数量积时，参与运算的向量必须具有相同的维度。
- 单位： 如果向量的元素带有单位，那么数量积的结果的单位将是对应元素单位乘积的单位（例如，在物理学中，力（牛顿）与位移（米）的数量积是功（焦耳））。
- 夹角的正负： 几何定义法中，$ cos( heta) $ 的值在 $ 0^circ $ 到 $ 180^circ $ 之间，其符号决定了数量积的正负。
总结
向量和向量数量积是线性代数和多维空间几何中的基本概念。向量数量积作为一种将两个向量映射到一个标量的运算，在计算向量夹角、判断垂直性、求解投影以及在物理学和工程学中解决实际问题方面发挥着至关重要的作用。理解其定义、计算方法和几何意义，对于深入学习和应用向量至关重要。
