统计学第三章课后题答案步骤全方位解析与解题指导

统计学第三章课后题答案步骤：核心概念与解题要点

统计学第三章通常涵盖概率论的基础概念，包括随机事件、概率的定义、概率的基本公式（如加法法则、乘法法则）、条件概率、独立性等。课后习题旨在巩固这些理论知识，并培养应用能力。掌握题目的核心考点，理解每一步的计算逻辑，是获得正确答案的关键。

核心解答：

1. 理解题意： 仔细阅读题目，明确题设条件，识别出涉及的随机事件以及需要求解的概率类型。
2. 选择合适公式： 根据题意，选择恰当的概率计算公式，例如基本概率计算、加法法则、乘法法则、条件概率公式等。
3. 代入数值计算： 将题目中给出的具体数值代入选定的公式中进行计算。
4. 化简与验证： 对计算结果进行化简，并思考结果是否符合概率的取值范围（0到1之间），以及是否符合逻辑。

本篇文章将围绕【统计学第三章课后题答案步骤】这一核心需求，提供详尽的解题思路和步骤，帮助您系统地掌握第三章的知识点，并独立完成各类课后习题。

第一节：随机事件及其概率

统计学第三章的开端通常聚焦于随机事件的定义和概率的度量。理解什么是随机事件，以及如何量化其发生的可能性，是后续所有概率计算的基础。

1.1 随机事件的定义与分类

随机事件是指在同一条件下，可能发生也可能不发生的事件。在概率论中，我们常常会遇到以下几种类型的事件：

• 必然事件： 在任何条件下一定会发生的事件。其概率为1。
• 不可能事件： 在任何条件下都不可能发生的事件。其概率为0。
• 随机事件： 在一定条件下，发生与否具有不确定性的事件。其概率介于0和1之间。

课后题常见考点：

• 识别事件类型： 题目中给出一个场景，要求判断描述的事件是必然事件、不可能事件还是随机事件。
• 样本空间与基本事件： 理解样本空间（所有可能结果的集合）以及基本事件（样本空间中的单个结果）的概念，并能够从中找出特定的随机事件。

解题步骤示例（识别事件类型）：

1. 阅读场景描述： 仔细阅读题目中给出的具体情境。
2. 分析条件与结果： 思考在给定条件下，描述的事件是否“一定发生”、“一定不发生”或者“不确定是否发生”。
3. 下结论： 根据分析结果，判断事件类型并作出回答。

例题分析： 假设我们投掷一枚均匀的骰子，观察出现的点数。事件A：“点数小于7”。分析：骰子的点数最大为6，所以点数小于7是必然发生的。因此，事件A是必然事件。

1.2 概率的基本定义与性质

概率是衡量随机事件发生可能性的数量指标。在第三章中，我们通常接触到几种主要的概率定义：

• 古典概率： 当所有基本事件发生的可能性均等时，随机事件A的概率P(A)等于事件A包含的基本事件数除以样本空间中基本事件的总数。
• 统计（经验）概率： 在大量重复试验中，随机事件A发生的频率趋近于其真实概率。
• 公理化概率： 基于三个公理（非负性、规范性、可列可加性）定义的概率。

概率的性质：

• 非负性： 任何事件的概率都大于等于0，即 P(A) ≥ 0。
• 规范性： 样本空间（必然事件）的概率为1，即 P(S) = 1。
• 互斥性： 对于互斥事件（不能同时发生的事件），其并集的概率等于各事件概率之和。
• 有界性： 任何事件的概率都不大于1，即 P(A) ≤ 1。

课后题常见考点：

• 计算古典概率： 题目提供了一个具有等可能性的试验场景，要求计算某个事件的概率。
• 理解概率的性质： 根据概率的性质判断某些概率论断的正确性。

解题步骤示例（计算古典概率）：

1. 确定样本空间： 列出所有可能的基本结果。
2. 计算样本空间大小： 确定样本空间中基本事件的总数，记为 |S|。
3. 确定目标事件： 明确需要计算概率的随机事件A。
4. 计算目标事件包含的基本事件数： 找出事件A包含的所有基本结果，记为 |A|。
5. 计算概率： P(A) = |A| / |S|。

例题分析： 从一副52张不含大小王的扑克牌中随机抽取一张，求抽到红桃K的概率。样本空间大小 |S| = 52。抽到红桃K的事件A只包含“红桃K”这一个基本事件，所以 |A| = 1。因此，P(A) = 1/52。

第二节：概率的基本公式

当事件之间存在某种联系时，我们需要借助概率的基本公式来计算概率。第三章会重点讲解加法法则和乘法法则。

2.1 加法法则

加法法则是用于计算并集事件（至少发生其中一个事件）的概率。根据事件是否互斥，加法法则分为两种形式：

• 一般加法法则： 对于任意两个事件A和B，P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)。其中，P(A ∩ B) 是事件A和事件B同时发生的概率。
• 互斥事件加法法则： 如果事件A和事件B互斥（即 P(A ∩ B) = 0），则 P(A ∪ B) = P(A) + P(B)。

课后题常见考点：

• 计算并集事件的概率： 题目给出两个或多个事件的概率，以及它们交集的概率（或事件互斥的信息），要求计算它们的并集概率。
• 判断事件是否互斥： 根据题设条件判断事件是否能够同时发生。

解题步骤示例（一般加法法则）：

1. 识别事件： 明确题目中涉及的事件A和事件B。
2. 确定已知概率： 找到 P(A), P(B) 和 P(A ∩ B) 的值。
3. 代入公式： 将已知概率代入 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) 进行计算。
4. 得出结果： 得到并集事件的概率。

例题分析： 某班级中有30%的学生喜欢数学，20%的学生喜欢物理，同时有10%的学生既喜欢数学又喜欢物理。求该班级学生喜欢数学或物理的概率。设A为喜欢数学的事件，B为喜欢物理的事件。已知 P(A) = 0.3, P(B) = 0.2, P(A ∩ B) = 0.1。则 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0.3 + 0.2 - 0.1 = 0.4。所以，40%的学生喜欢数学或物理。

2.2 乘法法则

乘法法则是用于计算交集事件（多个事件同时发生）的概率。同样，根据事件是否独立，乘法法则也有两种形式：

• 一般乘法法则： 对于任意两个事件A和B，P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) 或 P(A ∩ B) = P(B) * P(A|B)。其中，P(B|A) 表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率（条件概率），P(A|B) 同理。
• 独立事件乘法法则： 如果事件A和事件B相互独立（即一个事件的发生与否不影响另一个事件的发生概率），则 P(A ∩ B) = P(A) * P(B)。

课后题常见考点：

• 计算交集事件的概率： 题目给出事件的概率和条件概率（或事件独立的信息），要求计算它们的交集概率。
• 判断事件是否独立： 根据题设条件判断事件的独立性。

解题步骤示例（独立事件乘法法则）：

1. 识别事件： 明确题目中涉及的事件A和事件B。
2. 判断独立性： 确认事件A和事件B是否相互独立。
3. 确定已知概率： 找到 P(A) 和 P(B) 的值。
4. 代入公式： 如果独立，则 P(A ∩ B) = P(A) * P(B)。
5. 得出结果： 得到交集事件的概率。

例题分析： 某人射击两次，每次命中目标的概率都是0.8。求两次都命中的概率。设A为第一次命中，B为第二次命中。假设两次射击是独立的，P(A) = 0.8, P(B) = 0.8。则 P(A ∩ B) = P(A) * P(B) = 0.8 * 0.8 = 0.64。所以，两次都命中的概率是0.64。

第三节：条件概率与事件独立性

条件概率是第三章的核心概念之一，它允许我们在已知某些信息的情况下，重新评估事件发生的概率。事件独立性则是条件概率的一个重要特例。

3.1 条件概率

条件概率 P(B|A) 定义为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。其计算公式为：

P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) （其中 P(A) > 0）

这个公式说明，当已知A发生后，我们感兴趣的样本空间就缩小到了A的范围，而B发生的概率则是在A这个新样本空间中，B和A共同发生的概率所占的比例。

课后题常见考点：

• 计算条件概率： 题目给出P(A), P(B) 和 P(A ∩ B)，要求计算P(B|A)。
• 利用条件概率解决问题： 在已知部分信息的情况下，计算某个事件发生的概率。

解题步骤示例：

1. 识别事件： 明确已知条件事件（作为分母）和待求事件（作为分子）。
2. 确定所需概率： 找出 P(A) 和 P(A ∩ B) 的值。
3. 代入公式： P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)。
4. 计算结果： 得出条件概率。

例题分析： 某工厂生产一批产品，次品率为5%。从这批产品中抽检，已知抽到的产品是次品，求该产品是X型号的概率（假设X型号产品占总产量的20%，且X型号产品的次品率为3%）。设A为抽到的产品是次品，B为抽到的产品是X型号。则 P(A) = 0.05。X型号产品的次品率为3%，意味着 P(A|B) = 0.03。X型号产品占总产量的20%，即 P(B) = 0.2。我们需要计算 P(B|A)。首先，由 P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)，可得 P(A ∩ B) = P(A|B) * P(B) = 0.03 * 0.2 = 0.006。然后，P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) = 0.006 / 0.05 = 0.12。所以，已知抽到的产品是次品，该产品是X型号的概率是0.12。

3.2 事件独立性

如果两个事件A和B是相互独立的，那么事件A的发生与否对事件B发生的概率没有影响，反之亦然。数学上表示为：

• P(A|B) = P(A) 且 P(B|A) = P(B)
• 并且 P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

课后题常见考点：

• 判断事件是否独立： 题目中描述的场景是否暗示了事件的独立性。
• 利用独立性简化计算： 当事件独立时，直接使用乘法法则 P(A ∩ B) = P(A) * P(B) 求解。

解题步骤示例（判断与利用独立性）：

1. 分析题意： 仔细阅读题目描述，判断事件之间是否存在相互影响。
2. 识别关键信息： 题目是否直接说明事件独立，或者场景是否暗示独立（例如，独立抽样）。
3. 进行计算： 如果事件独立，直接使用 P(A ∩ B) = P(A) * P(B)；如果不独立，则需要使用一般乘法法则 P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A)。

例题分析： 抛掷两枚骰子，事件A为第一枚骰子出现偶数点，事件B为第二枚骰子出现大于4的点数。求A与B同时发生的概率。骰子的每一次抛掷都是独立事件，所以事件A和事件B是独立的。P(A) = 3/6 = 1/2 (出现2, 4, 6)。P(B) = 2/6 = 1/3 (出现5, 6)。因为A和B独立，所以 P(A ∩ B) = P(A) * P(B) = (1/2) * (1/3) = 1/6。

第四节：全概率公式与贝叶斯公式

在处理一些复杂概率问题时，全概率公式和贝叶斯公式是极其有用的工具，它们能够帮助我们从已知的一些条件概率出发，推导出我们感兴趣的概率。

4.1 全概率公式

全概率公式用于在已知一组互斥且完备的事件（即它们的并集为整个样本空间）的条件下，计算某个事件的概率。设 B₁, B₂, ..., Bn 是一个样本空间S的一个划分（即 Bᵢ ∩ Bⱼ = ∅ 对 i≠j，且 ∪i=1ⁿ Bᵢ = S），则对于任意事件A，有：

P(A) = Σi=1ⁿ P(A|Bᵢ)P(Bᵢ)

通俗地说，事件A的发生可以通过它在不同“场景”（Bᵢ）下发生的概率加权求和得到。

课后题常见考点：

• 应用全概率公式： 题目中存在多个相互独立的“场景”或“阶段”，需要计算某个事件在所有可能场景下的总概率。

解题步骤示例：

1. 确定样本空间划分： 找出构成样本空间的一个互斥且完备的事件集合 {B₁, B₂, ..., Bn}。
2. 确定目标事件： 明确需要计算概率的事件A。
3. 计算条件概率： 求出在每个Bᵢ条件下，事件A发生的概率 P(A|Bᵢ)。
4. 计算划分事件的概率： 求出每个 Bᵢ 本身的概率 P(Bᵢ)。
5. 应用公式： P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|Bn)P(Bn)。

例题分析： 某工厂有三个车间生产同一种零件，一车间产量占总产量的50%，二车间占30%，三车间占20%。各车间的次品率分别为2%，3%，4%。从该厂生产的零件中随机抽取一件，求该零件是次品的概率。设B₁为来自一车间的零件，B₂为来自二车间，B₃为来自三车间。设A为抽到的零件是次品。已知 P(B₁) = 0.5, P(B₂) = 0.3, P(B₃) = 0.2。P(A|B₁) = 0.02, P(A|B₂) = 0.03, P(A|B₃) = 0.04。则 P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + P(A|B₃)P(B₃) = 0.02 * 0.5 + 0.03 * 0.3 + 0.04 * 0.2 = 0.01 + 0.009 + 0.008 = 0.027。所以，抽到的零件是次品的概率是2.7%。

4.2 贝叶斯公式

贝叶斯公式是全概率公式的推论，它允许我们在知道某个事件（例如结果）发生后，反过来计算某个“原因”事件发生的概率。设 B₁, B₂, ..., Bn 是一个样本空间S的一个划分，则对于任意事件A（P(A)>0），有：

P(Bᵢ|A) = [ P(A|Bᵢ)P(Bᵢ) ] / P(A) = [ P(A|Bᵢ)P(Bᵢ) ] / Σj=1ⁿ P(A|Bⱼ)P(Bⱼ)

贝叶斯公式非常强大，常用于“后验概率”的计算，即在获得新证据（事件A发生）后，对先验概率（P(Bᵢ)）的修正。

课后题常见考点：

• 应用贝叶斯公式： 题目中先给出一些“原因”事件及其概率，以及“结果”事件在不同“原因”下发生的条件概率，然后要求计算在“结果”发生的前提下，某个“原因”发生的概率。

解题步骤示例：

1. 确定“原因”事件集合： 找出构成样本空间的一个互斥且完备的“原因”事件集合 {B₁, B₂, ..., Bn}。
2. 确定“结果”事件： 明确已知发生的“结果”事件A。
3. 计算先验概率： 求出每个“原因”事件的初始概率 P(Bᵢ)。
4. 计算条件概率： 求出在每个“原因”Bᵢ条件下，“结果”事件A发生的概率 P(A|Bᵢ)。
5. 计算全概率 P(A)： 使用全概率公式 P(A) = Σj=1ⁿ P(A|Bⱼ)P(Bⱼ)。
6. 代入贝叶斯公式： P(Bᵢ|A) = [ P(A|Bᵢ)P(Bᵢ) ] / P(A)。

例题分析： 承接上一个例题。已知抽到的零件是次品（事件A），求该零件是一车间生产的（事件B₁）的概率。从上例我们知道 P(A) = 0.027, P(A|B₁) = 0.02, P(B₁) = 0.5。根据贝叶斯公式，P(B₁|A) = [ P(A|B₁)P(B₁) ] / P(A) = [ 0.02 * 0.5 ] / 0.027 = 0.01 / 0.027 ≈ 0.3704。所以，已知抽到的零件是次品，该零件是一车间生产的概率约为37.04%。

通过系统地学习和练习以上内容，并严格按照这些解题步骤进行，您将能够有效地掌握【统计学第三章课后题答案步骤】，并自信地应对各类统计学概率问题。