关系模式的候选关键字可以有几个：深度解析与优化策略
关系模式的候选关键字可以有几个？通常情况下，对于一个特定的关系模式（Relational Schema），其候选关键字的数量并没有一个固定的上限，可以有零个、一个或多个。 确定候选关键字的个数取决于该关系模式的属性组合是否满足成为关键字的条件。在数据库设计和关系代数中，候选关键字是识别关系表中元组（行）的最小且不重复的属性集合。理解候选关键字的数量以及如何确定它们，是数据库规范化、数据完整性和查询优化的基础。
理解关系模式与候选关键字
什么是关系模式？
在关系数据库模型中，关系模式（Relational Schema）是对关系（表）结构的描述，它定义了关系的名称以及构成该关系的属性（列）的集合。一个关系模式可以表示为 $R(A_1, A_2, ldots, A_n)$，其中 $R$ 是关系（表）的名称，$A_1, A_2, ldots, A_n$ 是该关系模式的属性集合。例如，一个“学生”关系模式可以表示为 $学生(学号, 姓名, 性别, 出生日期, 所属院系)$。
什么是候选关键字？
候选关键字（Candidate Key）是指关系模式的属性（或属性集合），它具有以下两个关键特性：
- 唯一性 (Uniqueness): 关系模式的任意两个元组（行）在候选关键字的属性上都不能具有相同的值。这意味着候选关键字能够唯一地标识出关系中的每一个元组。
- 最小性 (Minimality): 候选关键字不能包含任何冗余的属性。也就是说，如果从候选关键字中移除任何一个属性，剩余的属性集合就不再满足唯一性。
候选关键字是从关系的属性集合中找出的所有满足上述两个条件的属性集合。在这些候选关键字中，可以从中选择一个作为主关键字（Primary Key），其他未被选为主关键字的候选关键字则称为替代关键字（Alternate Key）。
关系模式的候选关键字可以有几个？
关系模式的候选关键字数量并非预设，而是由关系模式本身的属性及其函数依赖关系所决定。以下几种情况是可能发生的：
- 零个候选关键字： 如果一个关系模式的属性集合无法形成任何满足唯一性且最小的属性集合，那么它就没有候选关键字。这种情况在实际数据库设计中较为罕见，通常意味着该关系模式的设计存在问题，或者需要通过引入新的属性来建立唯一标识。例如，一个非常简单的关系模式 $R(A)$，如果属性 $A$ 的值在所有元组中都有可能重复，并且没有其他属性，那么它可能没有候选关键字。
- 一个候选关键字： 这是最常见的情况。关系模式存在一个或多个属性集合可以唯一标识元组，并且这些集合都是最小的。在这些满足条件的集合中，只有一个是“最小的”集合。例如，在“学生”关系模式 $学生(学号, 姓名, 性别, 出生日期, 所属院系)$ 中，如果“学号”是唯一的，并且是最简单的唯一标识属性，那么“学号”就是一个候选关键字。
- 多个候选关键字： 一个关系模式可以拥有多个不同的属性集合，它们都满足候选关键字的定义（唯一性且最小性）。例如，考虑一个“图书”关系模式 $图书(书号, ISBN, 书名, 作者)$。如果“书号”和“ISBN”都能够唯一地标识一本图书，并且它们本身都是最小的唯一标识属性（即“书号”和“ISBN”单独都能唯一标识，而“书号”与“ISBN”的组合不再是最小的，因为它们各自已经足够），那么“书号”和“ISBN”都将是该关系模式的候选关键字。
核心在于，候选关键字的数量取决于关系模式的函数依赖（Functional Dependencies, FDs）以及属性集合的组合。 函数依赖描述了属性之间存在的确定性关系。通过分析这些函数依赖，可以系统地找出所有可能的候选关键字。
如何确定关系模式的候选关键字？
确定候选关键字是一个系统性的过程，通常涉及以下步骤：
1. 识别所有函数依赖 (Identify All Functional Dependencies - FDs)
首先，需要明确关系模式中属性之间的所有函数依赖关系。函数依赖 $X ightarrow Y$ 表示属性集 $X$ 的值能够唯一地确定属性集 $Y$ 的值。例如，在 $学生(学号, 姓名, 性别, 出生日期, 所属院系)$ 中，$学号 ightarrow 姓名$ 表示学号决定了姓名。
2. 计算属性集合的闭包 (Compute Attribute Set Closure)
对于任意一个属性集合 $X$，其闭包 $X^+$ 是指在所有函数依赖的作用下，由 $X$ 所能决定的所有属性的集合。计算闭包是找出候选关键字的关键。
计算闭包的规则：
- 初始化: $X^+$ 最初包含 $X$ 中的所有属性。
- 迭代: 检查所有函数依赖 $A ightarrow B$。如果 $A$ 是 $X^+$ 的子集，则将 $B$ 的所有属性添加到 $X^+$ 中。
- 重复: 重复上述步骤，直到 $X^+$ 不再发生变化。
3. 寻找候选关键字 (Find Candidate Keys)
候选关键字是满足以下条件的属性集合 $K$：
- $K^+ = R$ (所有属性): $K$ 必须能够决定关系模式 $R$ 中的所有属性。
- $K$ 是最小的 (Minimal): 对于 $K$ 的任何真子集 $K$ ($K subset K$)，都有 $K^+ eq R$。
确定候选关键字的常用算法是：
- 初始化候选关键字集: 将所有属性集合都视为潜在的候选关键字。
- 左侧属性检查: 找到那些在任何函数依赖的右侧属性集合中都不出现的属性。将这些属性添加到每个属性集合的闭包中，直到不再有新的属性被添加。
- 识别最终候选关键字: 遍历所有属性集合。如果一个属性集合 $K$ 的闭包包含了关系模式的所有属性，并且 $K$ 是最小的（即移除 $K$ 中的任何一个属性，其闭包不再包含所有属性），那么 $K$ 就是一个候选关键字。
示例说明：
假设关系模式 $R(A, B, C)$ 且函数依赖为 $A ightarrow B$, $B ightarrow C$。
第一步： 属性集合是 ${A, B, C}$。
第二步： 寻找函数依赖的左侧属性，这里是 $A$ 和 $B$。右侧属性是 $B$ 和 $C$。
第三步： 计算不同属性集合的闭包：
- ${A}^+ = {A}$。应用 $A ightarrow B$，${A}^+ = {A, B}$。应用 $B ightarrow C$，${A, B}^+ = {A, B, C}$。因此，$A$ 可以决定所有属性。
- ${B}^+ = {B}$。应用 $B ightarrow C$，${B}^+ = {B, C}$。无法决定 $A$。
- ${C}^+ = {C}$。
- ${A, B}^+ = {A, B, C}$。
- ${A, C}^+ = {A, C}$。应用 $A ightarrow B$，${A, C}^+ = {A, C, B}$。
- ${B, C}^+ = {B, C}$。应用 $B ightarrow C$，${B, C}^+ = {B, C}$。
- ${A, B, C}^+ = {A, B, C}$。
第四步： 识别候选关键字：
- ${A}^+ = {A, B, C}$，且 ${A}$ 的真子集（空集）闭包不是 ${A, B, C}$。因此，${A}$ 是一个候选关键字。
- ${A, B}^+ = {A, B, C}$，但 ${A}$ 是 ${A, B}$ 的真子集，且 ${A}^+ = {A, B, C}$。因此 ${A, B}$ 不是最小的，不是候选关键字。
- ${A, C}^+ = {A, B, C}$，但 ${A}$ 是 ${A, C}$ 的真子集，且 ${A}^+ = {A, B, C}$。因此 ${A, C}$ 不是最小的，不是候选关键字。
在这个例子中，关系模式 $R(A, B, C)$ 只有一个候选关键字，即 ${A}$。
另一个例子：关系模式 $R(A, B, C, D)$ 且函数依赖为 $A ightarrow C$, $B ightarrow D$。
计算不同属性集合的闭包：
- ${A}^+ = {A, C}$
- ${B}^+ = {B, D}$
- ${A, B}^+ = {A, B, C, D}$。 ${A, B}$ 是最小的，因为 ${A}^+ eq R$ 且 ${B}^+ eq R$。因此，${A, B}$ 是一个候选关键字。
- ${A, C}^+ = {A, C}$
- ${B, D}^+ = {B, D}$
- ${A, D}^+ = {A, D}$
- ${B, C}^+ = {B, C}$
- ${A, B, C}^+ = {A, B, C, D}$。 ${A, B}$ 是其真子集，且 ${A, B}^+ = R$。所以 ${A, B, C}$ 不是最小的。
- ${A, B, D}^+ = {A, B, D, C}$。 ${A, B}$ 是其真子集，且 ${A, B}^+ = R$。所以 ${A, B, D}$ 不是最小的。
在这个例子中，${A, B}$ 是唯一的候选关键字。
再看一个多候选关键字的例子：关系模式 $R(A, B, C)$ 且函数依赖为 $A ightarrow B$, $B ightarrow A$。
- ${A}^+ = {A}$，应用 $A ightarrow B$，${A}^+ = {A, B}$。
- ${B}^+ = {B}$，应用 $B ightarrow A$，${B}^+ = {B, A}$。
- ${C}^+ = {C}$。
- ${A, B}^+ = {A, B}$.
- ${A, C}^+ = {A, C}$. 应用 $A ightarrow B$，${A, C}^+ = {A, C, B}$. ${A, C}$ 决定所有属性。${A}^+ = {A, B} eq R$, ${C}^+ = {C} eq R$。因此 ${A, C}$ 是候选关键字。
- ${B, C}^+ = {B, C}$. 应用 $B ightarrow A$，${B, C}^+ = {B, C, A}$. ${B, C}$ 决定所有属性。${B}^+ = {B, A} eq R$, ${C}^+ = {C} eq R$。因此 ${B, C}$ 是候选关键字。
- ${A, B, C}^+ = {A, B, C}$.
在这个例子中，${A, C}$ 和 ${B, C}$ 都是候选关键字。
候选关键字的重要性与应用
理解候选关键字的数量及其确定方法至关重要，原因如下：
1. 数据库设计与规范化
候选关键字是关系模式设计的基础。它们确保了数据的唯一性和可追溯性。在数据库规范化过程中，候选关键字的识别是判断模式是否满足更高范式的关键步骤。例如，要达到第二范式（2NF），需要消除非主属性对码（候选关键字）的部分函数依赖。要达到第三范式（3NF），则需要消除非主属性对码的传递函数依赖。
2. 主关键字的选择
从所有的候选关键字中，设计者需要选择一个作为主关键字（Primary Key）。主关键字在数据库中扮演着至关重要的角色，用于唯一标识每一条记录，并常用于建立表之间的外键关系。通常选择具有最少属性、最稳定且易于理解的候选关键字作为主关键字。
3. 数据完整性约束
数据库系统利用主关键字（通常是候选关键字之一）来强制执行实体完整性。这意味着主关键字的属性值不能为空，并且必须是唯一的。此外，替代关键字（其他候选关键字）也可以被定义为唯一约束（Unique Constraint），以防止重复数据的出现。
4. 查询优化
数据库管理系统（DBMS）在执行查询时，会利用索引来加速数据检索。通常，主关键字会自动创建索引，而替代关键字也可以创建为唯一索引。理解候选关键字有助于数据库管理员和开发人员更好地设计索引策略，从而优化查询性能。
5. 数据集成与关联
在多个数据库或数据源进行集成时，共享的候选关键字可以作为连接不同数据集的桥梁。它们提供了可靠的标识符，用于匹配和关联来自不同来源的相同实体。
结论
总而言之，关系模式的候选关键字的数量并没有一个固定的数值限制，它可以是零个、一个或多个。这个数量完全由关系模式本身的属性集合以及它们之间的函数依赖关系所决定。通过系统地分析函数依赖并计算属性集合的闭包，我们可以精确地找出所有的候选关键字。理解并正确确定候选关键字，是构建健壮、高效、可维护的数据库系统的基石。
