10道用比例解决的应用题精选例题与解题思路详解

【10道用比例解决的应用题】精选例题与解题思路详解

什么是比例的应用题？

比例的应用题是指那些可以通过建立比例关系来解决的实际问题。在这些问题中，两个量之间存在着固定的倍数关系，当一个量发生变化时，另一个量也相应地按相同比例变化。

如何判断一个问题是否可以用比例解决？

判断的关键在于识别问题中是否存在两个或多个相互关联的量，并且它们的变化是同步且成固定比例的。例如，如果购买的数量增加，总价也会按相同比例增加；如果行程的时间增加，行驶的距离也会按相同比例增加。

建立比例需要注意什么？

建立比例时，需要确保对应项的单位一致，并且比例的两边所代表的量的关系要对应。例如，如果比例的一边是“物品数量/总价”，那么另一边也必须是“物品数量/总价”，而不是“总价/物品数量”。

一、理解比例应用题的核心：等量关系

比例应用题的本质在于抓住问题中的“等量关系”。这种等量关系通常体现在：

• 正比例关系：当一个量扩大或缩小若干倍，另一个量也随之扩大或缩小相同的倍数。例如，路程与速度一定时，路程和时间成正比例；总价与单价一定时，总价和数量成正比例。
• 反比例关系：当一个量扩大或缩小若干倍，另一个量随之缩小或扩大相同的倍数。例如，路程一定时，速度和时间成反比例；工作总量一定时，工作效率和工作时间成反比例。

在解决这类问题时，我们通常会根据题目描述，找出题目中的关键信息，然后列出包含未知数的比例式，最终解出未知数。

二、10道用比例解决的应用题精选与详解

下面我们将通过10道精选的应用题，详细讲解如何运用比例解决各种实际问题。

例题 1：购买商品

题目：一箱苹果有12个，售价为36元。李阿姨买了3箱这样的苹果，需要支付多少钱？

分析：这里苹果的数量和总价成正比例关系。箱数越多，总价越高，且两者成固定比例。

解题思路：

1. 设李阿姨需要支付x元。
2. 根据题意，可以建立比例式：(箱数1) / (总价1) = (箱数2) / (总价2)
3. 代入数值： 1箱 / 36元 = 3箱 / x元
4. 解比例： 1 * x = 36 * 3
5. x = 108

答案：李阿姨需要支付108元。

例题 2：按比例分配

题目：学校将一批图书按照3:5的比例分给甲、乙两个班。已知乙班分到了60本书，那么甲班分到了多少本书？

分析：甲、乙两个班分到的图书数量比是3:5，这意味着甲班分到的数量是乙班的3/5，或者说乙班分到的数量是甲班的5/3。

解题思路：

1. 设甲班分到了x本书。
2. 根据题意，比例关系为：(甲班数量) / (乙班数量) = 3 / 5
3. 代入数值： x / 60 = 3 / 5
4. 解比例： 5 * x = 60 * 3
5. 5x = 180
6. x = 36

答案：甲班分到了36本书。

例题 3：缩放图片

题目：一张照片的长是12厘米，宽是8厘米。按照3:2的比例将这张照片放大，放大后照片的长是多少厘米？

分析：照片的长和宽按照3:2的比例放大，意味着新的长和宽的比值与原长和宽的比值相同，但数值会更大。我们可以将新旧长度进行比例关联。

解题思路：

1. 设放大后照片的长为x厘米。
2. 根据题意，原照片的长与宽的比是12:8，放大后的长与宽的比也是12:8，但实际尺寸会按3:2放大。
3. 更直接的方法是，新的长度与原长度的比例关系是3:2。
4. 设放大后的长为x，那么 x / 12 = 3 / 2
5. 解比例： 2 * x = 12 * 3
6. 2x = 36
7. x = 18

答案：放大后照片的长是18厘米。

例题 4：行程问题（速度、时间、路程）

题目：一辆汽车从A地开往B地，每小时行驶60千米，需要4小时到达。如果这辆汽车想在3小时内到达B地，每小时需要行驶多少千米？

分析：路程一定时，速度和时间成反比例关系。速度越快，所需时间越短。

解题思路：

1. 首先计算A地到B地的路程：路程 = 速度 × 时间 = 60千米/小时 × 4小时 = 240千米。
2. 设这辆汽车每小时需要行驶x千米。
3. 根据反比例关系，路程 = 新速度 × 新时间
4. 240千米 = x千米/小时 × 3小时
5. 解方程：x = 240 / 3
6. x = 80

另一种比例解法：

1. 设每小时需要行驶x千米。
2. 因为速度和时间成反比例，所以 (速度1) × (时间1) = (速度2) × (时间2)
3. 代入数值： 60 × 4 = x × 3
4. 240 = 3x
5. x = 240 / 3
6. x = 80

答案：每小时需要行驶80千米。

例题 5：工作效率问题

题目：张师傅加工一批零件，原计划每天加工20个，需要15天完成。如果张师傅想提前5天完成，平均每天需要加工多少个零件？

分析：工作总量一定时，工作效率（每天加工数量）和工作时间成反比例关系。效率越高，所需时间越短。

解题思路：

1. 计算这批零件的总数：零件总数 = 每天加工数 × 天数 = 20个/天 × 15天 = 300个。
2. 张师傅想提前5天完成，那么实际需要的天数为：15天 - 5天 = 10天。
3. 设平均每天需要加工x个零件。
4. 根据关系式：零件总数 = 每天加工数 × 天数
5. 300个 = x个/天 × 10天
6. 解方程：x = 300 / 10
7. x = 30

另一种比例解法：

1. 原计划需要15天，提前5天完成，则实际需要15 - 5 = 10天。
2. 设平均每天需要加工x个零件。
3. 因为工作效率和工作时间成反比例，所以 (效率1) × (时间1) = (效率2) × (时间2)
4. 代入数值： 20 × 15 = x × 10
5. 300 = 10x
6. x = 300 / 10
7. x = 30

答案：平均每天需要加工30个零件。

例题 6：地图比例尺

题目：在一张比例尺为1:500000的地图上，A、B两地之间的图上距离是4厘米。那么A、B两地之间的实际距离是多少千米？

分析：地图的比例尺表示的是图上距离与实际距离的比。1:500000表示图上1厘米代表实际500000厘米。

解题思路：

1. 设A、B两地之间的实际距离为x厘米。
2. 根据比例尺，可以建立比例式：(图上距离) / (实际距离) = 1 / 500000
3. 代入数值： 4厘米 / x厘米 = 1 / 500000
4. 解比例： 1 * x = 4 * 500000
5. x = 2000000
6. 将实际距离从厘米转换为千米：2000000厘米 = 2000000 / 100000 (因为1千米 = 1000米，1米 = 100厘米，所以1千米 = 100000厘米) = 20千米。

答案：A、B两地之间的实际距离是20千米。

例题 7：浓度问题

题目：将10克盐溶解在90克水中，配制成盐水。这种盐水的含盐率是多少？如果再加入5克盐，新的盐水的含盐率是多少？

分析：含盐率的计算公式是：(盐的质量 / 盐水的总质量) × 100%。盐水的总质量等于盐的质量加上水的质量。

解题思路（第一问）：

1. 盐水的总质量 = 盐的质量 + 水的质量 = 10克 + 90克 = 100克。
2. 含盐率 = (10克 / 100克) × 100% = 10%。

解题思路（第二问）：

1. 加入5克盐后，盐的总质量变为：10克 + 5克 = 15克。
2. 此时盐水的总质量变为：100克 (原有盐水) + 5克 (新加入的盐) = 105克。
3. 新的含盐率 = (15克 / 105克) × 100%
4. 简化分数：15/105 = 1/7
5. (1/7) × 100% ≈ 14.29%

答案：这种盐水的含盐率是10%。再加入5克盐后，新的盐水的含盐率约是14.29%。

例题 8：按比例配制溶液

题目：用150毫升水配制一种药液，要求药液与水的体积比是2:5。需要多少毫升药液？

分析：药液与水的体积比是2:5，这意味着每5份水的体积对应2份药液的体积。

解题思路：

1. 设需要x毫升药液。
2. 根据题意，药液的体积 / 水的体积 = 2 / 5
3. 代入数值： x / 150 = 2 / 5
4. 解比例： 5 * x = 150 * 2
5. 5x = 300
6. x = 60

答案：需要60毫升药液。

例题 9：工程量分配

题目：一项工程，甲、乙两人合作需要12天完成。如果甲单独做需要20天完成，那么乙单独做需要多少天完成？

分析：这类问题可以看作是工作效率的问题。我们可以将工程总量看作1份。

解题思路：

1. 设这项工程的总量为1。
2. 甲的工作效率是：1 / 20 (表示每天完成工程总量的1/20)。
3. 甲、乙合作的工作效率是：1 / 12 (表示每天共同完成工程总量的1/12)。
4. 乙的工作效率 = 甲、乙合作的工作效率 - 甲的工作效率
5. 乙的工作效率 = 1/12 - 1/20
6. 计算1/12 - 1/20。找到公分母，例如60。
7. 1/12 = 5/60
8. 1/20 = 3/60
9. 乙的工作效率 = 5/60 - 3/60 = 2/60 = 1/30。
10. 设乙单独做需要x天完成，则乙的工作效率是 1 / x。
11. 所以，1 / x = 1 / 30
12. x = 30

答案：乙单独做需要30天完成。

例题 10：按比例制作混合物

题目：用面粉和糖按照3:2的比例制作蛋糕。如果需要240克糖，那么需要多少克面粉？

分析：面粉和糖的重量比是3:2，这意味着每2份糖的重量对应3份面粉的重量。

解题思路：

1. 设需要x克面粉。
2. 根据题意，面粉的重量 / 糖的重量 = 3 / 2
3. 代入数值： x / 240 = 3 / 2
4. 解比例： 2 * x = 240 * 3
5. 2x = 720
6. x = 360

答案：需要360克面粉。

三、总结与进阶

通过以上10道例题，我们可以看到比例在解决实际问题中的广泛应用。掌握比例的运用，能够帮助我们更有效地分析和解决生活中的各种量化问题。

进阶提示：

• 在遇到复杂问题时，可以先尝试将其简化，找出关键的两个量和它们之间的关系。
• 对于涉及多个量的比例问题，可以分步进行，先建立部分比例，再逐步求解。
• 多做练习，熟练掌握不同类型的比例应用题的解题技巧，例如行程问题、工程问题、溶液配制问题等。
• 注意单位的统一，确保比例式中各部分的单位一致。

希望这些例题和讲解能帮助您更好地理解和运用比例解决应用题。