灵敏度分析图怎么画

灵敏度分析图（Sensitivity Analysis Chart）是用于可视化和评估模型中输入变量变化对输出结果影响程度的图形工具。它能帮助我们理解哪些因素对模型的预测结果最为关键，从而优化模型、识别风险或指导决策。

什么是灵敏度分析图？

灵敏度分析图是一种图表，用于展示一个模型或系统中，一个或多个输入参数的变化如何影响输出结果。它通过图形化的方式，直观地呈现出不同输入变量对模型输出的敏感程度。

换句话说，它回答了“如果改变这个输入，输出会变化多少？”这样的问题。

绘制灵敏度分析图的基本步骤

绘制灵敏度分析图的核心在于系统地改变输入变量，并记录输出的变化。以下是绘制灵敏度分析图的通用步骤：

1. 确定模型和目标输出： 首先，明确你要分析的模型是什么，以及你最关心的输出指标（目标变量）。
2. 识别关键输入变量： 列出模型中可能影响目标输出的所有输入变量。
3. 定义输入变量的取值范围和分布： 为每个关键输入变量设定合理的变动范围或概率分布。这通常基于实际情况、专家意见或历史数据。
4. 生成输入变量组合： 根据设定的范围和分布，生成一系列的输入变量组合。这可以通过多种方法实现，如单因素敏感性分析（一次改变一个变量）或多因素敏感性分析（同时改变多个变量，如蒙特卡洛模拟）。
5. 运行模型并记录输出： 将生成的每一组输入变量代入模型中运行，并记录对应的输出结果。
6. 计算灵敏度指标： 根据记录的输入-输出数据，计算每个输入变量对输出结果的灵敏度。常用的灵敏度指标包括：
   • 偏导数（Partial Derivatives）： 在微积分中，偏导数衡量一个变量在其他变量不变的情况下，函数对该变量变化的敏感度。
   • 回归系数（Regression Coefficients）： 通过线性回归分析，可以得到每个输入变量对输出变量的回归系数，系数的绝对值大小反映了灵敏度。
   • 方差分解（Variance Decomposition）： 尤其在蒙特卡洛模拟中，可以计算每个输入变量对输出变量总方差的贡献度。
   • 其他统计量： 如相关系数、百分比变化等。
7. 选择合适的图表类型： 根据计算出的灵敏度指标和数据特点，选择最适合展示的图表类型。
8. 绘制图表： 使用图表工具（如Excel, Python库Matplotlib/Seaborn, R语言等）将灵敏度指标可视化。
9. 解读图表： 分析图表，识别最敏感的输入变量，并解释其对模型输出的影响。

绘制灵敏度分析图的常见图表类型及其绘制方法

不同的灵敏度分析方法适用于不同的场景，自然也对应着不同的图表类型。以下将介绍几种常见的灵敏度分析图及其绘制方法。

1. 单因素灵敏度分析图 (One-Way Sensitivity Analysis Chart)

定义： 这种分析方法一次只改变一个输入变量，而保持其他所有输入变量不变，观察输出结果的变化。它最直观地展示了单个因素的影响。

绘制方法：

1. 选择一个输入变量： 确定要分析的第一个输入变量。
2. 设定其变动范围： 例如，从最小值到最大值，或者按一定步长取值。
3. 保持其他变量固定： 将所有其他输入变量设置为其“基线”或“最可能”的值。
4. 计算输出： 对于输入变量设定的每一个值，计算模型输出。
5. 绘制图表：
   • XY散点图或折线图： 横轴表示输入的变量值，纵轴表示模型的输出结果。
   • Spider图/Tornado图（当进行多个单因素分析后）： 可以将多个单因素分析的结果汇总在一个图表中。Tornado图通常将影响最大的变量放在中间，影响较小的变量放在两侧，形成“龙卷风”的形状。

示例（Tornado图）：

假设我们分析一个项目投资回报率（ROI）的模型，输入变量包括初始投资、年现金流、折现率等。

+-------------------+ | 输出: ROI (%) | +-------------------+ / / / +-------+ +-------+ | 初始 | | 年现金| | 投资 | | 流 | +-------+ +-------+ / / / +-----------+ | 折现率 (%)| +-----------+

在Tornado图中，变量“初始投资”和“年现金流”对ROI影响最大（图中最长的条形），而“折现率”影响相对较小（图中最短的条形）。

2. 多因素灵敏度分析图 (Multi-Way Sensitivity Analysis Chart)

定义： 这种分析方法同时改变两个或多个输入变量，以探索它们之间的交互作用以及对输出结果的联合影响。最常见的方法是蒙特卡洛模拟。

绘制方法（以蒙特卡洛模拟为例）：

1. 定义所有关键输入变量的概率分布： 为每个输入变量指定一个概率分布（如正态分布、均匀分布、对数正态分布等），而不是一个固定范围。
2. 生成大量的随机输入组合： 通过随机抽样，生成成千上万（甚至更多）组输入变量的组合，每组组合都遵循其定义的概率分布。
3. 运行模型并记录输出： 对每一组随机生成的输入组合，运行模型，得到对应的输出结果。
4. 分析输出结果的分布： 收集所有模拟运行得到的输出结果，分析其整体分布（均值、标准差、最小值、最大值、置信区间等）。
5. 计算和绘制图表：
   • 直方图/概率密度图（Histogram/Probability Density Plot）： 展示输出结果的分布情况，可以直观看到结果的集中程度、偏态以及出现特定数值的概率。
   • 累积分布函数图（Cumulative Distribution Function, CDF）： 显示输出结果小于或等于某个值的概率。
   • 散点图矩阵（Scatter Plot Matrix）： 当有几个关键输入变量时，可以绘制输入变量与输出结果之间的散点图矩阵，观察变量之间的关系。
   • Sobol指数图： 用于量化每个输入变量对输出方差的贡献度（一阶、二阶及总效应）。

Sobol指数图（更高级的多因素灵敏度分析）：

Sobol指数是衡量输入变量对模型输出总方差贡献的一种有效方法，尤其适用于非线性模型。它分为一阶灵敏度指数（S1）和总灵敏度指数（ST）。

• S1： 表示该输入变量单独对输出方差的贡献。
• ST： 表示该输入变量及其与所有其他输入变量的交互作用对输出方差的总贡献。

绘制S1和ST图（通常为柱状图）：

| S1 | ST | +------------------------+---+----+----+ | 输入变量 A | | | | +------------------------+---+----+----+ | 输入变量 B | | | | +------------------------+---+----+----+ | 输入变量 C | | | | +------------------------+---+----+----+

通过比较S1和ST的值，可以判断哪些变量是主要的驱动因素（S1高），哪些变量的交互作用也很重要（ST远大于S1）。

3. 帕累托图 (Pareto Chart)

定义： 帕累托图结合了柱状图和折线图，常用于识别“关键的少数”因素。在灵敏度分析中，它可以用来显示不同输入变量对输出结果影响的排序，以及累积影响的程度。

绘制方法：

1. 计算每个输入变量的灵敏度指标： 可以是回归系数的绝对值、方差贡献度等。
2. 按灵敏度大小降序排列： 将输入变量及其对应的灵敏度指标进行排序。
3. 绘制柱状图： 横轴为输入变量，纵轴为灵敏度指标。柱子按降序排列。
4. 绘制累积百分比折线图： 在同一图表中，叠加绘制累积百分比的折线图。这条折线显示了前N个变量的总影响占总影响的百分比。

示例：

| | ^ 柱状图: 灵敏度值 | | 100% |-----*---- 累积百分比折线图 | /| | / | | / | |/ | ----+-------------------> 输入变量 A B C D

帕累托图直观地显示了，例如变量A和B（最左侧的两个柱子）可能已经解释了80%的总影响，遵循了“二八原则”。

4. 散点图矩阵 (Scatter Plot Matrix)

定义： 当需要同时考虑多个输入变量与输出结果的关系时，散点图矩阵非常有用。它展示了所有变量对之间的成对关系。

绘制方法：

1. 收集输入变量和输出结果的数据： 通常来自蒙特卡洛模拟或其他多因素分析。
2. 选择要展示的变量： 选取几个关键的输入变量以及模型输出。
3. 生成矩阵：
   • 矩阵的对角线通常显示每个变量的直方图或密度图，展示其自身的分布。
   • 矩阵的非对角线上的每个小图都是一个散点图，展示两个变量之间的关系。例如，第一行第二列的散点图展示“输入变量A”与“模型输出”的关系。

示例：

+---------+---------+---------+ | Input A| Input B| Output | +---------+---------+---------+ Input A | Hist A | Scatter| Scatter| +---------+---------+---------+ Input B | Scatter| Hist B | Scatter| +---------+---------+---------+ Output | Scatter| Scatter| Hist O | +---------+---------+---------+

通过观察非对角线上的散点图，可以发现输入变量与输出结果之间是否存在线性、非线性或无明显关系。

选择合适的图表类型

选择哪种灵敏度分析图取决于你的分析目标、数据的性质以及你想要传达的信息：

• 强调单个变量的影响： 单因素灵敏度图（Tornado图）是首选。
• 探索多个变量的联合影响和不确定性： 蒙特卡洛模拟产生的直方图、CDF图和Sobol指数图更为合适。
• 快速识别主要影响因素并了解其累积效应： 帕累托图是高效的选择。
• 全面了解各变量间的关系： 散点图矩阵能提供丰富的视角。

绘制灵敏度分析图的工具

有许多工具可以帮助你绘制灵敏度分析图：

• 电子表格软件： 如Microsoft Excel。对于简单的单因素分析，Excel的图表功能已经足够。
• 统计分析软件： 如R语言（及其ggplot2、sensitivity包）、Python（及其Matplotlib、Seaborn、SALib包）、SPSS、SAS等。这些工具提供了更强大和灵活的绘图和分析功能，尤其适合进行复杂的多因素分析。
• 专业建模软件： 许多领域特定的建模软件（如财务建模、工程仿真软件）内置了灵敏度分析模块和图形化输出功能。

灵敏度分析图的应用场景

灵敏度分析图在众多领域都有广泛应用：

• 风险管理： 识别可能导致项目失败或收益大幅偏离的关键风险因素。
• 项目评估： 评估不同决策变量（如成本、收益、时间）对项目可行性和投资回报的影响。
• 科学研究： 理解模型中不同参数对模拟结果的重要性，指导实验设计。
• 政策制定： 分析不同政策参数（如税率、补贴力度）对经济或社会效益的影响。
• 工程设计： 优化产品设计参数，以达到最佳性能或最低成本。
• 金融建模： 评估不同市场假设（如利率、汇率）对资产组合价值的影响。

总结

绘制灵敏度分析图是一个系统性的过程，它通过可视化技术，帮助我们深入理解模型中输入变量与输出结果之间的复杂关系。从明确分析目标到选择合适的图表类型，每一步都至关重要。掌握灵敏度分析图的绘制方法，能极大地提升我们对模型行为的认知，做出更明智的决策。

关键要点回顾：

• 灵敏度分析图用于可视化输入变量对模型输出的影响程度。
• 绘制过程包括确定模型、识别变量、设定范围、运行模型、计算指标和可视化。
• 常见的图表类型有单因素分析图（Tornado图）、多因素分析图（直方图、Sobol指数图）、帕累托图和散点图矩阵。
• 选择图表类型需考虑分析目标和数据特点。
• Excel、R、Python等是常用的绘制工具。
• 灵敏度分析图广泛应用于风险管理、项目评估、科学研究等领域。