若a b大于0且ab a b 3求ab的取值范围
若a b大于0且ab a b 3求ab的取值范围
当条件为“若 a, b 大于 0 且 ab + a + b = 3”时，ab 的取值范围是 **(0, 1]**。
引言
在数学问题中，求解变量的取值范围是常见的挑战。本文将围绕“若 a, b 大于 0 且 ab + a + b = 3，求 ab 的取值范围”这一核心问题，进行深入的探讨和解答。我们将从问题的基本条件出发，运用代数技巧，逐步推导出 ab 的精确取值区间。文章将力求解答的严谨性和过程的清晰性，以便读者能够全面理解问题的解决方法。
问题分析与条件解读
我们首先对题目给出的条件进行细致的分析：
- 条件一：a > 0 且 b > 0。这意味着变量 a 和 b 都必须是正数。这个条件排除了 a 或 b 为零或负数的情况，对后续的推导至关重要。
- 条件二：ab + a + b = 3。这是连接变量 a, b, 和它们的乘积 ab 的核心等式。我们需要利用这个等式来构建关于 ab 的不等式。
利用代数技巧推导 ab 的取值范围
为了求解 ab 的取值范围，我们可以尝试对原等式进行变形，使其能够直接或间接地反映出 ab 的变化规律。
方法一：构造二次函数
我们可以尝试将等式 ab + a + b = 3 变形，使其与一个以 ab 为变量的二次函数相关联。
注意到等式中的 “ab + a + b” 结构，这是一个常见的可以进行添项配凑的模式。如果我们考虑 (a+1)(b+1)，展开后是 ab + a + b + 1。这与我们的等式非常接近。
将原等式两边同时加上 1：
ab + a + b + 1 = 3 + 1
(a + 1)(b + 1) = 4
由于 a > 0 且 b > 0，所以 a + 1 > 1 且 b + 1 > 1。令 x = a + 1 且 y = b + 1。则 x > 1 且 y > 1，并且 xy = 4。
现在，我们来考察 ab。从 a + 1 = x 和 b + 1 = y，我们可以得到 a = x - 1 和 b = y - 1。
因此，ab = (x - 1)(y - 1)
ab = xy - x - y + 1
由于 xy = 4，所以：
ab = 4 - (x + y) + 1
ab = 5 - (x + y)
现在问题转化为求解 x + y 的取值范围，其中 x > 1, y > 1 且 xy = 4。
根据均值不等式（AM-GM inequality），对于正数 x 和 y，有 $frac{x+y}{2} ge sqrt{xy}$。
将 xy = 4 代入：
$frac{x+y}{2} ge sqrt{4}$
$frac{x+y}{2} ge 2$
x + y $ge$ 4
当且仅当 x = y 时，等号成立。因为 xy = 4，所以当 x = y = 2 时，x + y = 4。此时，a + 1 = 2 $Rightarrow$ a = 1，b + 1 = 2 $Rightarrow$ b = 1。由于 a=1, b=1 满足 a > 0, b > 0，且 ab + a + b = 1*1 + 1 + 1 = 3，所以 x+y 存在最小值 4。
现在我们需要考虑 x + y 的上界。因为 x > 1 且 y > 1，并且 xy = 4。我们可以将 y 表示为 $y = frac{4}{x}$。将此代入 x > 1 和 y > 1 的条件：
- x > 1 (已经满足)
- $frac{4}{x}$ > 1 $Rightarrow$ 4 > x (因为 x > 0)
所以，x 的取值范围是 (1, 4)。同理，y 的取值范围也是 (1, 4)。
当 x 趋近于 1 时 (例如 x = 1 + $epsilon$，其中 $epsilon$ 是一个很小的正数)，$y = frac{4}{1+epsilon}$ 趋近于 4。此时 x + y $approx$ 1 + 4 = 5。
当 x 趋近于 4 时 (例如 x = 4 - $epsilon$)，$y = frac{4}{4-epsilon}$ 趋近于 1。此时 x + y $approx$ 4 + 1 = 5。
所以，x + y 的取值范围是 [4, 5)。注意，y 严格大于 1，所以 y 不可能等于 1，x 也不可能等于 4。因此 x+y 严格小于 5。
现在回到 ab = 5 - (x + y)。
当 x + y 取得最小值 4 时，ab = 5 - 4 = 1。这对应于 a = 1, b = 1 的情况。
当 x + y 趋近于 5 时，ab 趋近于 5 - 5 = 0。这是因为 x 趋近于 1 (b 趋近于 3) 或 y 趋近于 1 (a 趋近于 3)。
例如，若 a 趋近于 0 (但大于 0)，则 ab 趋近于 0。如果 a 趋近于 0，那么原方程 ab + a + b = 3 变为 0 + 0 + b = 3，即 b = 3。此时 ab = 0 * 3 = 0。但题目要求 a > 0，b > 0，所以 ab 只能趋近于 0，而不能等于 0。
同理，若 b 趋近于 0 (但大于 0)，则 ab 趋近于 0。如果 b 趋近于 0，那么 ab + a + b = 3 变为 0 + a + 0 = 3，即 a = 3。此时 ab = 3 * 0 = 0。
因此，ab 的取值范围是 (0, 1]。
方法二：利用判别式
我们也可以将原等式视为一个关于 a (或 b) 的二次方程，然后利用判别式来求解。
从 ab + a + b = 3，我们可以解出 b：
ab + b = 3 - a
b(a + 1) = 3 - a
由于 a > 0，所以 a + 1 $ e$ 0。我们可以安全地除以 a + 1：
b = $frac{3 - a}{a + 1}$
现在我们利用条件 b > 0：
$frac{3 - a}{a + 1}$ > 0
因为 a > 0，所以 a + 1 > 1，其分母恒为正。因此，为了使整个分数大于 0，分子必须大于 0：
3 - a > 0
a < 3
结合条件 a > 0，我们得到 a 的取值范围是 (0, 3)。
现在我们来考虑 ab 的表达式。将 b 的表达式代入 ab：
ab = a * $frac{3 - a}{a + 1}$
ab = $frac{3a - a^2}{a + 1}$
令 k = ab。我们现在要求 k 的取值范围，其中 k = $frac{3a - a^2}{a + 1}$，且 0 < a < 3。
将 k 的表达式与 a 联立，我们得到一个关于 a 的方程：
k = $frac{3a - a^2}{a + 1}$
k(a + 1) = 3a - a^2
ka + k = 3a - a^2
a^2 + ka - 3a + k = 0
a^2 + (k - 3)a + k = 0
这是一个关于 a 的二次方程。由于存在实数解 a (0 < a < 3)，所以这个二次方程的判别式 $Delta ge 0$。
$Delta$ = (k - 3)^2 - 4 * 1 * k
$Delta$ = k^2 - 6k + 9 - 4k
$Delta$ = k^2 - 10k + 9
令 $Delta ge 0$：
k^2 - 10k + 9 $ge$ 0
(k - 1)(k - 9) $ge$ 0
解得 k $le$ 1 或 k $ge$ 9。
现在我们需要结合 a 的取值范围 (0, 3) 来进一步确定 k 的范围。
如果 k $ge$ 9，那么根据二次方程的求根公式：
a = $frac{-(k-3) pm sqrt{k^2 - 10k + 9}}{2}$
当 k $ge$ 9 时，k-3 很大，$sqrt{k^2 - 10k + 9}$ 也很大。我们可以分析当 k 很大时，a 的可能取值。例如，当 k=9 时，$Delta = 0$，a = $frac{-(9-3)}{2} = -3$。这不满足 a > 0。当 k 远大于 9 时，k-3 也会比 $sqrt{k^2 - 10k + 9}$ 的正根大，所以 a 会是负数，或者a的两个解都大于3，或者a的一个解小于0，一个解大于3。我们可以通过考虑当a趋于0或3时k的值来判断。
我们来考察 k = ab 的函数 $k(a) = frac{3a - a^2}{a + 1}$ 在区间 (0, 3) 上的取值。
当 a 趋近于 0 时，$k(a) approx frac{3a}{1} = 3a$。所以 k 趋近于 0。
当 a 趋近于 3 时，b = $frac{3 - a}{a + 1}$ 趋近于 $frac{3 - 3}{3 + 1} = 0$。所以 ab 趋近于 3 * 0 = 0。这与我们前面分析的相符。
现在我们来看 k = 1 的情况。当 k = 1 时，判别式 $Delta = 0$。二次方程变为：
a^2 + (1 - 3)a + 1 = 0
a^2 - 2a + 1 = 0
(a - 1)^2 = 0
a = 1
当 a = 1 时，b = $frac{3 - 1}{1 + 1} = frac{2}{2} = 1$。此时 ab = 1 * 1 = 1。a=1, b=1 满足 a > 0, b > 0，且 ab + a + b = 1 + 1 + 1 = 3。因此 k = 1 是可能取得的。
我们还需要考虑 k $ge$ 9 的情况。我们已经看到，当 a 趋近于 0 或 3 时，k 趋近于 0。这说明 k 的值不会达到 9。
为了更严谨地排除 k $ge$ 9 的情况，我们可以分析二次方程 $a^2 + (k - 3)a + k = 0$ 的根。如果 k $ge$ 9，我们需要确保其中至少有一个根在 (0, 3) 区间内。
令 $f(a) = a^2 + (k - 3)a + k$。我们需要 $f(a)=0$ 在 (0, 3) 区间内有解。
我们知道 $Delta = (k-1)(k-9) ge 0$，即 k $le$ 1 或 k $ge$ 9。
情况一：k $le$ 1。
当 k = 1 时，a = 1，在 (0, 3) 区间内。ab = 1。
当 k < 1 时，由于 k 的两个根是 1 和 9，所以 $(k-1)(k-9) > 0$。我们需要检查 $f(a) = a^2 + (k - 3)a + k = 0$ 在 (0, 3) 区间是否有解。
考虑 $f(0) = k$。如果 k < 0，则 $f(0) < 0$。由于二次函数开口向上，如果 $f(0) < 0$ 且 $Delta ge 0$，那么一定有一个根在 0 的左侧，一个根在 0 的右侧。如果这个右侧的根在 (0, 3) 内，则 k 的值是可以的。
考虑 $f(3) = 3^2 + (k-3)3 + k = 9 + 3k - 9 + k = 4k$。如果 k > 0 且 $f(3) > 0$，则如果 $f(0)$ 和 $f(3)$ 同号，根可能都不在 (0, 3) 区间内，或者两个根都在 (0, 3) 区间内。
让我们重新审视 ab 的表达式 $k = frac{3a - a^2}{a + 1}$。
我们可以通过求导来找到 k 的最大值。
$k(a) = frac{(3 - 2a)(a + 1) - (3a - a^2)(1)}{(a + 1)^2}$
$k(a) = frac{3a + 3 - 2a^2 - 2a - 3a + a^2}{(a + 1)^2}$
$k(a) = frac{-a^2 - 2a + 3}{(a + 1)^2}$
$k(a) = frac{-(a^2 + 2a - 3)}{(a + 1)^2}$
$k(a) = frac{-(a + 3)(a - 1)}{(a + 1)^2}$
令 $k(a) = 0$，则 $-(a + 3)(a - 1) = 0$。因为 a > 0，所以 a = 1 是唯一的驻点。
当 0 < a < 1 时，$a-1 < 0$, $a+3 > 0$, $(a+1)^2 > 0$，所以 $k(a) = frac{- (pos)(neg)}{(pos)} > 0$。此时 k(a) 单调递增。
当 1 < a < 3 时，$a-1 > 0$, $a+3 > 0$, $(a+1)^2 > 0$，所以 $k(a) = frac{- (pos)(pos)}{(pos)} < 0$。此时 k(a) 单调递减。
因此，在 a $in$ (0, 3) 区间内，k(a) 在 a = 1 处取得最大值。
当 a = 1 时，k = k(1) = $frac{3(1) - 1^2}{1 + 1} = frac{2}{2} = 1$。
我们已经知道 a 的取值范围是 (0, 3)。
当 a 趋近于 0 时，$k(a) = frac{3a - a^2}{a + 1}$ 趋近于 $frac{0 - 0}{0 + 1} = 0$。因为 a > 0，所以 ab > 0。
当 a 趋近于 3 时，$k(a) = frac{3a - a^2}{a + 1}$ 趋近于 $frac{3(3) - 3^2}{3 + 1} = frac{9 - 9}{4} = 0$。因为 a < 3 (且 b > 0)，所以 ab > 0。
结合最大值为 1，以及趋近于 0 的情况，ab 的取值范围是 (0, 1]。
总结与结论
通过对原等式 ab + a + b = 3 的变形和分析，我们采用了两种主要的方法来求解 ab 的取值范围。
- 构造二次函数法：通过将等式转化为 (a+1)(b+1) = 4，并利用均值不等式，我们推导出 ab 的取值范围为 (0, 1]。
- 判别式法与导数法结合：将原等式视为关于 a 的二次方程，利用判别式 $Delta ge 0$ 得到 k 的可能范围。再结合函数 $k(a) = frac{3a - a^2}{a + 1}$ 在 a $in$ (0, 3) 区间内的单调性，精确确定了 ab 的取值范围。
两种方法殊途同归，都得到了相同的结论：当 a, b 大于 0 且 ab + a + b = 3 时，ab 的取值范围是 **(0, 1]**。
相关问题探讨
当 a, b 为任意实数时，ab + a + b = 3 求 ab 的取值范围
如果我们放宽 a, b > 0 的条件，仅仅要求 a, b 是实数，那么情况会有所不同。
我们仍然有 (a + 1)(b + 1) = 4。
令 x = a + 1, y = b + 1。则 xy = 4。
ab = (x - 1)(y - 1) = xy - (x + y) + 1 = 4 - (x + y) + 1 = 5 - (x + y)。
现在 x 和 y 可以是任意实数，只要它们的乘积是 4。
如果 x > 0, y > 0，则 x + y $ge$ 4。此时 ab = 5 - (x + y) $le$ 5 - 4 = 1。
如果 x < 0, y < 0，设 x = -u, y = -v，其中 u > 0, v > 0。则 (-u)(-v) = 4 $Rightarrow$ uv = 4。此时 x + y = -(u + v)。由于 u + v $ge$ 4，所以 -(u + v) $le$ -4。那么 ab = 5 - (x + y) $ge$ 5 - (-4) = 9。
因此，当 a, b 为任意实数时，ab 的取值范围是 (-$infty$, 1] $cup$ [9, +$infty$)。但这与本篇文章的核心问题不同。
若 a, b 大于 0 且 ab + a + b = 3，求 a+b 的取值范围
从前面方法一的推导中，我们知道 (a + 1)(b + 1) = 4，且 a > 0, b > 0。令 x = a + 1, y = b + 1，则 x > 1, y > 1 且 xy = 4。
我们有 a = x - 1, b = y - 1。所以 a + b = (x - 1) + (y - 1) = x + y - 2。
根据均值不等式，x + y $ge$ 4。因此 a + b $ge$ 4 - 2 = 2。
同时，我们知道 x 的取值范围是 (1, 4)，y 的取值范围是 (1, 4)。
当 x 趋近于 1 时 (a 趋近于 0)，y 趋近于 4 (b 趋近于 3)。此时 a + b 趋近于 0 + 3 = 3。
当 x 趋近于 4 时 (a 趋近于 3)，y 趋近于 1 (b 趋近于 0)。此时 a + b 趋近于 3 + 0 = 3。
所以，a + b 的取值范围是 [2, 3)。注意，由于 a, b 都严格大于 0，所以 a+b 严格小于 3 (当 a 趋近于 0 或 b 趋近于 0 时，另一个变量趋近于 3，但不能同时为 0)。
结论
本文围绕“若 a, b 大于 0 且 ab + a + b = 3，求 ab 的取值范围”这一主题，进行了详细的解答。通过多种代数方法，我们严谨地推导出了 ab 的取值范围为 **(0, 1]**。同时，我们也对相关问题进行了简要的探讨，以期提供更全面的数学知识。
