正切半角公式怎么推的？全面解析与推导过程

正切半角公式怎么推的？

正切半角公式，也称为半角正切公式，其推导主要基于已知的三角恒等式，特别是二倍角公式和万能代换公式。这些公式能够帮助我们从已知的角度（如一个角的正弦、余弦或正切值）推导出该角一半的正切值。

核心推导思路

正切半角公式的推导可以从以下几个主要方向入手：

• 利用二倍角公式展开：将半角看作一个角的二分之一，然后利用二倍角公式（如 或 ），然后进行代数变形。
• 利用 公式：将半角表示为两个已知角之差，再应用两角差的正切公式。
• 基于万能代换公式：万能代换公式将任意角的三角函数都用 来表示，反过来也可以推导出半角正切公式。

推导一：基于余弦的二倍角公式

我们从余弦的二倍角公式 和 开始。令 ，则 。

代入公式，我们得到：

1. 

2. 

从第一个公式，我们可以解出 ：

从第二个公式，我们可以解出 ：

现在，我们可以通过 来推导正切半角公式：

化简后得到：

因此，我们可以得到半角正切公式的两种常见形式（考虑正负号）：

• 

• 更常用的形式是通过分子有理化或分母有理化得到的，这些形式去除了根号，并且可以避免符号问题，适用于所有 值（只要 ）：

  • 乘以 ：

    

    取平方根得到：

  • 乘以 ：

    

    取平方根得到：

推导二：基于正切的两角差公式

我们可以将 表示为 。然后应用正切的两角差公式：

令 且 ，我们有：

这个等式看起来有点循环，因为它又出现了 。要利用这个公式，我们需要一个已知的 值，并且通过代数变形来解出 。具体做法如下：

1. 令 。

2. 则原式变为

3. 移项并整理：

   

   

   

4. 这是一个关于 的二次方程。使用求根公式 ，其中 ，，。

   

   

   

   利用 ，我们得到：

   

   

   由于 且 ，代入化简：

   

   这里有两种可能的结果：

   • 

   • 

   通过分析符号，我们可以发现这两个结果实际上与之前推导出的公式是等价的。例如，当 处于第一象限时， 为正。而 的正负取决于 的符号，而 。

推导三：基于万能代换公式

万能代换公式定义：令 ，则有：

• 

• 

• 

我们可以从 开始，然后代入万能代换公式：

化简后得到 。现在，我们要推导出 的表达式，即反过来求 。

这与推导二中得到的二次方程是完全相同的。通过求解这个关于 的二次方程，并选择合适的根（考虑 的符号），我们最终会得到与推导一和推导二相同的半角正切公式。

总结与应用

正切半角公式在三角学和更高级的数学领域中有着广泛的应用，例如在求解三角形问题、积分计算（特别是涉及三角函数的不定积分）以及复数运算中。理解这些公式的推导过程，有助于深入掌握三角函数的基本性质和运算技巧。

常用的正切半角公式形式

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• 

这些公式提供了一种从已知角度的正弦、余弦值计算半角正切值的方法，反之亦然。