请问如何证明函数连续可导非断点的导函数怎么证明连续性 一个函数可导，怎么证明它的导数连续

请问如何证明函数连续可导？非断点的导函数怎么证明连续性？

一、若知该函数为初等函数，则说明它是初等函数，在其定义区间上均连续；二、若该函数为一元函数，则可对该函数求导，其导数在某点上有意义则函数则该点必然连续---可导必连续；三、实在不行，只好求极限，函数在该点极限等于函数在该点函数值，则连续；注：左右极限只是求极限的一个部分内容，当函数为分段函数时，分段点处的极限求法必须使用左右极限来求。

一个函数可导，怎么证明它的导数连续

楼上二位的证明方法都有问题，以下才是严格的证明。
证明：用反证法，设
lim (x趋于a) f(x) = L，就是要证 L = f(a)，那么我们先假设L > f(a)。
如此一来，取L = (L f(a)) / 2 > f(a)，根据函数极限的定义，对于
epsilon = (L-f(a))/2 > 0，存在一个x的邻域 delta(x)，使得在这个邻域内的任意一个x，都有，
| f(x) - L | < epsilon, 推出 f(x) > L - epsilon = L。
然后考虑在a点导数的定义：
lim (x趋于a) [f(x) - f(a)] / (x-a) = f(a)，
考虑闭区间 [a,x] （或者 [x,a]，取决于从哪个方向趋近于a，不过无所谓的），由于函数在该闭区间上连续，在开区间 (a,x)上可导，故根据拉格朗日微分中值定理，存在 c 属于 (a,x)，使得
[f(x) - f(a)] / (x-a) = f(c)，
接着，由于当x趋于a时， c也是趋于a的，所以最终，c一定会进入到刚才所说的x的邻域 delta(x)（注意我的epsilon 和邻域都已经取定了，对于固定的一个区间，只要c充分接近a，就一定会进入到这个区间），到那个时候，就总是有
f(c) > L，这样一来，当c趋于a时，由于函数极限的保号性，就有
f(a) >= L > f(a)，这显然是一个矛盾。
同理，你也可以证明，当L < f(a)时也会出现矛盾，L的取法还是一样， epsilon 你取 (f(a) - L)/2即可。保证可以证的出来，不是一楼说的有问题。
还有问题可以追问。

一个导函数连续性的问题！在线等啊~求助！

首先，先介绍一个定理：函数f(x)在【x1，x1 a）内连续，在（x1，x1 a）内可导（a大于0），且导函数在x1点的右极限的存在，则在x1点的右导数与导函数在x1点的右极限相等。（此定理证明利用拉格朗日中值定理）按假定，f `(x)在x处不连续，必有两种情况：1.f `(x)在x处的左右极限都存在；2.至少有一个不存在；情况1中，由上面定理：可知x处，左导数与导函数的左极限相等，右导数与导函数的右极限相等。由假定f (x)在点x处可导，左导数=右导数=导数，故导函数的左极限=导函数的右极限，与题设矛盾，故证完。累死了。[]

若函数可导,则导函数连续

回复2楼
证明了 limf’(x) ( x→x0-)= limf’(x) （x→x0 ）= f’(x0)，就是导函数在x0的极限值=函数值，所以连续，与“f(X0 △x)-f(X0) 在△x趋于0 时 等于0”是等价的

怎样证明 f(x)=tanhx 的连续性？

首先证明e^(x)连续
任取实数x0
e^(x)定义域为全体实数，所以在x0处一定有定义
lim(x→x0 ) e^(x)-e^(x0)
=lim(x→x0 ) e^(x0)(e^(x-x0)-1)
=lim(x→x0 ) e^(x0)(1-1)
=0
函数右连续

lim(x→x0-) e^(x)-e^(x0)
=lim(x→x0-) e^(x0)(e^(x-x0)-1)
=lim(x→x0-) e^(x0)(1-1)
=0
函数左连续

所以e^(x)在定义域内连续
同理e^(-x)也是连续函数

由定理，连续函数经过有限次初等运算后得到的函数，在其定义域内仍然是连续函数可知
tanh(x)定义域为全体实数
tanh(x)=(e^(x)-e^(-x))/(e^(x) e^(-x))
是e（x）经过有限次初等运算得到的函数
所以tanh(x)在其定义域内连续，是连续函数

大学数学上如何证明函数的连续性和可导性，需要啥条件？？

连续性就是证每个点的左极限等于右极限等于该点的值，初等函数在其定义域内都是连续的，你的举例就是
可导性就是某点的左导等于右导，例如y=x在x=0点可导,但y=x的绝对值在x=0点不可导